冲到家里打人情节严重的构成故意伤害罪 。
《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处5日以上10日以下拘留 ， 并处200元以上500元以下罚款；情节较轻的，处5日以下拘留或者500元以下罚款 。有下列情形之一的，处10日以上15日以下拘留，并处500元以上1000元以下罚款：
（一）结伙殴打、伤害他人的；
（二）殴打、伤害残疾人、孕妇、不满14周岁的人或者60周岁以上的人的；
【冲到家里打人是什么罪】（三）多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的 。

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